domingo, 8 de junio de 2014

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN - Límites laterales

Tema introductorio sobre el concepto de límite de una función de variable real se habla acerca de límites que no existen y límites cuyo resultado es infinito positivo o negativo.

De hecho se introduce el concepto de límites laterales y se expresa la necesidad de que tanto el límite por derecha y límite por izquierda de una función deben ser iguales para que el límite exista en ese punto.

En las clases anteriores veíamos ejemplos en donde se calculaba el límite de una función ya fuera utilizándola tabla de valores, la sustitución directa o el método grafico y veíamos que el limite existía, es decir siempre podíamos encontrar el límite de la función, en esta clase veremos ejemplos en donde no necesariamente existe el límite o donde se pueden llegar a límites que tienden al infinito.

Para esto supongamos que nos piden hallar el siguiente límite:

Si intentamos resolver este límite inicialmente utilizando la sustitución directa vemos que vamos a tener una división de 1/0 lo cual es una indeterminación. 

O si utilizamos la tabla de valores:




Podemos observar que al acercarnos al cero desde la izquierda la función crece vertiginosamente hacia abajo y si nos acercamos al cero por la derecha la fusión crece vertiginosamente hacia arriba,


En otras palabras, decimos que si nos acercamos al cero por la izquierda el límite tiende hacia menos infinito y si nos acercamos al cero desde la derecha el límite tiende hacia más infinito, por lo que decimos que el límite de esta función cuando x tiende a cero no existe. 


Podemos pensar de la siguiente manera: Si dividimos una cantidad  por un número muy pequeño el resultado del cociente será muy alto; por tal, cuando dividimos (1/x ) por cero, nos estamos acercando al infinito, dependerá si es por la izquierda de cero es infinito negativo y por la derecha de cero es infinito positivo.   Entonces este límite no existe.

A partir de este ejemplo podemos decir las siguientes generalidades, si tenemos un límite en el cual tenemos un número sobre cero (#/0) decimos que el límite no existe o es infinito positivo o infinito negativo.

 Pero si tenemos el caso (0/0)  decimos que probablemente exista el límite. Lo que debemos hacer es una manipulación algebraica para eliminar esta indeterminación y nos permita obtener :  

Otro ejemplo:



Cada vez que nos acercamos a cero, ya sea por la izquierda o derecha  la función crece positivamente infinito. 


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